Πυθαγόρειο Θεώρημα

Ο Σύνδεσμος Πολιτισμού Ελλάδας Κύπρου (ΣΠΕΚ) βραβεύει από το 2020 δεκάδες νέους καινοτόμους επιστήμονες, Έλληνες, Κύπριους, Απόδημους που δρουν σ’ όλο τον κόσμο και εφευρίσκουν νέες μεθόδους που βοηθούν σε πλείστους τομείς π.χ. ανάπτυξη, η δημόσια υγεία, το περιβάλλον, η ποιότητα ζωής, η ενέργεια κ.ά. Ποιος θα μιλήσει για όλους όσοι καινοτόμησαν, νέοι ή παλιοί, πριν 10 χρόνια ή 10 αιώνες;

Η Στήλη ‘Ιδιοφυώς’ παρουσιάζει το Πυθαγόρειο Θεώρημα σε 2 διαστάσεις, που άνοιξε μεγάλο δρόμο στα Μαθηματικά, και μέσω αυτών σ’ όλες τις επιστήμες. Το θεώρημα ισχύει σε 3, 4 ακόμα και σε ν διαστάσεις!

Έστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με τη γωνία Â ορθή (90° μοιρών). Η πλευρά α (ΒΓ) καλείται ‘υποτείνουσα’ βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία Â, και είναι μεγαλύτερη ΄[ α > β, α > γ] από τις 2 ‘άλλες πλευρές του ορθογωνίου την β (ΑΓ) και τη γ (ΑΒ), οι οποίες είναι κάθετες μεταξύ τους, α | β.

Σύμφωνα με το Θεώρημα του Πυθαγόρα, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές α, β, γ (όπου α, β κάθετες και γ η υποτείνουσα, μεγαλύτερη από κάθε μία από τις κάθετες πλευρές, γ>α και γ>β) τότε ‘το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσας’ δηλαδή

α² + β² = γ²

Άρα, μπορούμε να βρίσκουμε μια πλευρά, αν ξέρουμε το μέγεθος της καθεμιάς από τις άλλες δύο

Ισχύει 

γ = √ α² + β²   (√ = τετραγωνική ρίζα π.χ. του 9 είναι το 3, κ.ο.κ.)

Και επίσης

α = √ γ² – β²      β = √ γ² – α²   (√ = τετραγωνική ρίζα )

Εφαρμογή:

Αν γ = 5  και  α = 4   τότε  β = √ 5² – 4² = √ 25-16 = √ 9 = 3

Αν α = 6  και  β = 8  τότε  γ = √ 6² + 8² = √ 36 + 64 = √ 100 = 10

Αν δ η διαγώνιος του ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου και α, β και γ οι ακμές, μήκος, πλάτος, ύψος, τότε:

α² + β² + γ² = δ²

Εφαρμογή:

Αν δ = 11,  γ = 6, β = 7  τότε

α = √ δ² – γ² – β² = √ 11² – 6² – 7² = √ 121 – 85 = √ 36 = 6

Ο Πυθαγόρας, ως Μαθηματικός και φιλόσοφος, πίστευε ότι οι αριθμοί ήταν θείες οντότητες και τους εξίσωνε με τους θεούς. Η δεκάδα από το 1 έως το 10, έχει ιδιαίτερη ιερότητα. Εξισώνοντας τους θεούς με αριθμούς, αναδιάρθρωσε ριζικά το ελληνικό πάνθεον: οι θεοί, δεν ήταν πλέον ανθρωπόμορφα όντα με πάθη και δόλους αλλά τους μετέτρεψε σε αφηρημένες μαθηματικές οντότητες. Η πυθαγόρεια εικόνα του κόσμου δεν ήταν το θέατρο του Όμηρου και του Ησίοδου, αλλά ένας μεταφυσικός χορός αριθμών. Διότι ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του πίστευαν στα ηθικά χαρακτηριστικά των αριθμών.

Για αυτούς το 4 ήταν ο αριθμός της δικαιοσύνης (2 φορές το 2, που σήμαινε εξισορροπημένη πλάστιγγα). Το 6 ήταν ο αριθμός του γάμου [2 φορές το 3, όπου το 2 είναι σύμβολο της γυναίκας και το 3 του άνδρα] Η φιλοσοφία του Πυθαγόρα που δανείστηκε στοιχεία από την αιγυπτιακή αριθμολογία έχει τη θέση ότι οι αριθμοί έχουν μη ποσοτικά χαρακτηριστικά, και άρα μπορούσαν να χρησιμεύσουν ως ηθικά αρχέτυπα. Έτσι η μελέτη των μαθηματικών μπορούσε να ρίξει φως στην ανθρώπινη συμπεριφορά. Ως αποτέλεσμα προέκυψε η πυθαγόρεια δυαρχία: α) οι ιδιότητες του καλού για τους άνδρες και τους μονούς αριθμούς (ευθύτητα, αρρενωπότητα) και β) οι ιδιότητες του κακού για τις γυναίκες και τους ζυγούς (δολιότητα, θηλυκός φθόνος). Για τον σχολάρχη Πυθαγόρα, ο μαθηματικός ήταν ένας σπουδαστής της ηθικής, οι δε αριθμοί χρησίμευαν όχι μόνον ως ηθικά αρχέτυπα, αλλά και ως αρχέτυπα του υλικού κόσμου, ως μοντέλα για κάθε φυσική μορφή. Ο κάθε αριθμός θα μπορούσε να συσχετιστεί με ξέχωρα σχήματα. Λόγου χάρη, το 6, το 10 και το 15 ονομάζονταν τρίγωνοι αριθμοί επειδή έξι, δέκα ή δεκαπέντε κουκίδες διατασσονται έτσι ώστε να σχηματίσουν ισόπλευρα τρίγωνα. Οι 4, το 9, και το 16 ονομάζονταν τετράγωνοι αριθμοί. Ένα παράδειγμα συσχετισμού ενός αριθμού από κουκίδες θα μπορούσε να ήταν με ένα σχήμα αστερισμού. Εξ’ ου και ο αστερισμός του κριού και άλλων. Γνώριζε άραγε μυστικά των αστρονόμων της Βαβυλώνας;

Μάλλον, με βάση τα πιο πάνω ο Πυθαγόρας έφτασε στο θεώρημά του (με σχέδια από κουκίδες ή πλακάκια). Σε μετεξέλιξη οι σύγχρονοι μαθηματικοί δεν έχουν να κάνουν με διάταξη κουκίδων αλλά με σύμβολα αγνώστων σε μορφή εξισώσεων. Για παράδειγμα ένας κύκλος έχει την εξίσωση χ²+ψ² = r² – που είναι εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος). Εδώ τα χ και y είναι οι αποστάσεις ενός σημείου της περιφέρειας από τον οριζόντιο άξονα και τον κάθετο άξονα, και r η ακτίνα του κύκλου. Μια παραλλαγή αυτής της εξίσωσης απεικονίζει μια έλλειψη – που είναι πεπλατυσμένος κύκλος- και η οποία είναι η τροχιά του κάθε πλανήτη γύρω από τον ήλιο αλλά και της σελήνης γύρω από τη γη. Με θαυμαστό τρόπο ένας μαθηματικός τύπος, το Πυθαγόρειο θεώρημα σε παραλλαγή, εκφράζει το χορό του ηλιακού συστήματος.

Γενικά, το σύμπαν μπορεί να φαντάζει ως μια μεγαλοπρεπής σειρά αριθμητικών κύκλων – με το έτος να αποτελείται από 4 εποχές, 13 σεληνιακούς μήνες, 365 μέρες, με τον ήλιο να έχει κύκλο 24 ωρών, η σελήνη 29 ημερών και ο κάθε πλανήτης ένα δικό του μοναδικό ρυθμό. Έτσι, το σύμπαν μπορεί να φαντάζει στα μάτια μας σαν μια μεγαλειώδης σειρά αριθμητικών κύκλων. Για τον Πυθαγόρα τα πάντα ήταν αριθμοί (‘αριθμώ δε τε πάντ’ επέοικεν’, Ιάμβλ. XXXIX, 162) ο δε αριθμός ήταν γι’ αυτόν η ουσία της αλήθειας.

Όπως οι ινδουϊστές, έτσι και οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι ήταν μοιραίο να υποταχθούν σ’ έναν ατελείωτο κύκλο ζωής μετά τη ζωή, και έτσι τις ψυχές, όπως και τους ίδιους τους αριθμούς, τις θεωρούσαν αθάνατες. Στην πραγματικότητα, η αθανασία της ψυχής και ο ατέρμων μετεμψυχωτικός της κύκλος ήταν τα πρώτιστα θρησκευτικά δόγματα του πυθαγορισμού. Για τον Πυθαγόρα, όλοι μετενσαρκωνόμαστε κάθε 216 χρόνια. Όποτε η ψυχή δεν είναι ενσαρκωμένη, ο Πυθαγόρας πίστευε ότι διέμενε στο ουράνιο βασίλειο των άυλων αριθμών-θεών, όπου απολάμβανε μακάρια τις μελωδίες της μαθηματικής μουσικής του σύμπαντος, της αποκαλούμενης και αρμονίας των σφαιρών [τα Θεοφάνια της ανθρώπινης εμπειρίας]. Ο πυθαγορισμός λοιπόν ήταν μια θρησκεία μετουσίωσης της ψυχής, στην οποία ο σκοπός ήταν να χρησιμοποιηθούν τα μαθηματικά ως εργαλείο για να απελευθερωθεί η ψυχή από το σώμα ώστε να μπορέσει να ανέβει και να μπει στο “ουράνιο” βασίλειο των αριθμών. Τα μαθηματικά ήταν μια θρησκευτική δραστηριότητα μέθεξης.